Uniwersytet Ślaski w Katowicach - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

TEORIA LICZB 0301-MT-S2-15-TLI
Wykład (W) semestr zimowy 2015/2016

Informacje o zajęciach (wspólne dla wszystkich grup)

Strona zajęć: http://el.us.edu.pl/wmfich/enrol/index.php?id=230
Liczba godzin: 30
Limit miejsc: 24
Zaliczenie: Egzamin
Literatura:

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. W.Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1969.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

7. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

Metody i kryteria oceniania:

I. Egzamin:

1. Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 30 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu. W trakcie egzaminu można zdobyć 40 punktów. Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów.

2. Na egzaminie oceniana będzie wiedza w zakresie treści wymienionych w opisie wykładu wraz z umiejętnością dowodzenia głównych twierdzeń i faktów, a także umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej wymienionej w poniższych wymaganiach merytorycznych i szczegółowych umiejętności praktycznych wymienionych w wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych.

II. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy teoretycznej:

1. Pogłębiona znajomość arytmetycznych własności pierścienia liczb całkowitych i związanych z nimi pojęć, znajomość zastosowania jednoznaczności rozkladu w zagadnieniach arytmetycznych.

2. Znajomość podstawowych faktów dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych: własności funkcji Gaussa, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, związek funkcji dzeta Riemanna z rozmieszczeniem liczb pierwszych, rekordowe liczby pierwsze i związane z nimi testy pierwszości.

3. Znajomość własności wybranych funkcji arytmetycznych (funkcja Eulera, funkcja Mobiusa, liczba i suma dzielników naturalnych), własności splotu Dirichleta i jego zastosowania do dowodzenia własności funkcji arytmetycznych.

4. Znajomość struktur grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt i związanych z nimi pojęć (pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy) i ich zastosowań.

5. Znajomość określenia i własności symbolu Legendre’a oraz głównych faktów dotyczących reszt kwadratowych (kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia).

6. Znajomość pojęć i faktów dotyczących ułamków łańcuchowych, rozwinięć liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe oraz podstawowych faktów z zakresu aproksymacji diofantycznych (prawo najlepszego przybliżenia, Twierdzenie Liouville’a).

7. Znajomość podstawowych równań diofantycznych i twierdzeń opisujących ich rozwiązania (równanie Pitagorasa, równanie Pella, wybrane równania eliptyczne, równanie Fermata).

8. Znajomość głównych aspektów praktycznych teorii liczb: zastosowania liczb pierwszych w kryptografii, testy pierwszości, metody rozkładu na czynniki.

Zakres tematów:

1. Ciała globalne i lokalne: podstawowe zbiory liczbowe, ciała liczb p-adycznych, ciała liczb algebraicznych, pierścienie liczb algebraicznych całkowitych.

2. Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa, kongruencje, arytmetyka modularna, problem jednoznaczności rozkładu na czynniki w ogólnej perspektywie.

3. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, funkcja zeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych, hipoteza Riemanna, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze.

4. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych. (2 godz.)

5. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, hipoteza Artina, indeksy i ich zastosowania, reszty stopnia n.

6. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a.

8. Analiza diofantyczna: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, wybrane równania eliptyczne, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata.

9. Aspekty praktyczne teorii liczb: algorytmy rozkładu na czynniki, probabilistyczne testy pierwszości, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym.

Metody dydaktyczne:

I. Opis zajęć:

Wykład wspomagany prezentacją multimedialną.

II. Opis pracy własnej studenta:

Uczestnictwo na wykładach, samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz literatury wskazanej w sylabusie.

Grupy zajęciowe

zobacz na planie zajęć

Grupa Termin(y) Prowadzący Miejsca Akcje
1 każdy piątek, 10:00 - 12:00, sala 208
Alfred Czogała 23/24 szczegóły
Wszystkie zajęcia odbywają się w budynku:
Bankowa 14
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Ślaski w Katowicach.