ARYTMETYKA 0301-MT-S1-14-ARYT
Wykład (W)
semestr letni 2015/2016
Informacje o zajęciach (wspólne dla wszystkich grup)
Strona zajęć: | http://el.us.edu.pl/wmfich/course/view.php?id=245 |
Liczba godzin: | 30 |
Limit miejsc: | 18 |
Zaliczenie: | Egzamin |
Literatura: |
Literatura podstawowa: 1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995. 2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007. 3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003. 4. W.Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1969. Literatura uzupełniająca: 1. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945. 2. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982. 3. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin pisemny i ustny. A. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy: 1. Znajomość aksjomatyki Peano oraz konstrukcji i własności podstawowych zbiorów liczbowych. 2. Znajomość arytmetycznych własności pierścienia liczb całkowitych i związanych z nimi pojęć. 3. Znajomość podstawowych własności pierścieni reszt i wynikających z nich wniosków teorio liczbowych (tw. Eulera, chińskie twierdzenie o resztach, itp.). 4. Znajomość podstawowych faktów dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych: własności funkcji Gaussa, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda. 5. Znajomość własności wybranych funkcji arytmetycznych (funkcja Eulera, funkcja Mobiusa, liczba i suma dzielników naturalnych), własności splotu Dirichleta i jego zastosowania do dowodzenia własności funkcji arytmetycznych. 6. Znajomość struktur grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt i związanych z nimi pojęć (pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy) i ich zastosowań. 7. Znajomość określenia i własności symbolu Legendre’a oraz głównych faktów dotyczących reszt kwadratowych (kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia). 8. Znajomość pojęć i faktów dotyczących ułamków łańcuchowych, rozwinięć liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe oraz podstawowych faktów z zakresu aproksymacji diofantycznych (prawo najlepszego przybliżenia, Twierdzenie Liouville’a). 9. Znajomość podstawowych równań diofantycznych i twierdzeń opisujących ich rozwiązania (równanie Pitagorasa, równanie Pella, równanie Fermata). 10. Znajomość głównych aspektów praktycznych teorii liczb: arytmetyka modularna, zastosowania liczb pierwszych w kryptografii, testy pierwszości. B. Wymagania merytoryczne w zakresie umiejętności: 1. Umiejętność dowodzenia własności zbioru liczb naturalnych w oparciu o aksjomaty. Umiejętność dowodzenia własności zbiorów liczbowych Z, Q, R w oparciu o ich konstrukcje. 2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami pierścienia liczb całkowitych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania wartości wykładnika p-adycznego, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, dowodzenia własności liczb pierwszych, stosowania algorytmu Euklidesa i rozszerzonego algorytmu Euklidesa. 3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną, rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach, wyprowadzania i stosowania cech podzielności. 4. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych. 5. Umiejętność: swobodnego operowania podstawowymi funkcjami arytmetycznymi, obliczania i stosowania splotu Dirichleta. 6. Umiejętność: rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt, wyznaczania wszystkich pierwiastków pierwotnych modulo m (o ile istnieją), obliczania i wykorzystywania indeksów. 7. Umiejętność: obliczania wartości symbolu Legendre’a, stosowania lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych. 8. Umiejętność: swobodnego operowania ułamkami łańcuchowymi i pojęciami z nimi związanymi, rozwijania liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe i przybliżania ich reduktami ułamków łańcuchowych (wraz z szacowaniem dokładności tego przybliżenia), znajdowania liczb o zadanym rozwinięciu na ułamek łańcuchowy skończony lub okresowy, wykorzystania twierdzenia Liouville’a do konstrukcji liczb przestępnyh. 9. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella . C. Kryteria oceniania i przebieg procesu weryfikacjii: W części pisemnej egzaminu oceniana będzie umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej wymienionej w wymaganiach merytorycznych dla aktywności na zajęciach i szczegółowych umiejętności praktycznych wymienionych w wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych, na podstawie przedłożonych do rozwiązania zadań/problemów. W części ustnej egzaminu oceniana będzie: ogólna wiedza na temat metod i technik stosowanych w arytmetyce i teorii liczb; umiejętność wykorzystywania narzędzi matematycznych i zasad logiki w omawianych treściach wykładu, umiejętność stosowania poznanych narzędzi arytmetycznych w innych działach matematyki, umiejętność stawiania i analizowania problemów oraz prezentowania wykorzystywanych technik badawczych, umiejętność dostrzegania analogii w ramach prezentowanych pojęć i faktów arytmetycznych oraz z pojęciami i faktami innych z działów matematyki. Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 30 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu. W trakcie egzaminu można zdobyć 40 punktów. Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów. |
Zakres tematów: |
1. Konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych. (6 godz.) 2. Arytmetyczne własności pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa. (2 godz.) 3. Pierścienie reszt: kongruencje, pierścienie reszt, chińskie twierdzenie o resztach, rozwiązywanie kongruencji liniowych. (2 godz.) 4. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze. (2 godz.) 5. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych, liczby doskonałe. (2 godz.) 6. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy i ich zastosowania. (2 godz.) 7. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego. (4 godz.) 8. Ułamki łańcuchowe: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a. (4 godz.) 9. Wybrane równania diofantyczne: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata. (2 godz.) 10. Wybrane zastosowania narzędzi teorioliczbowych: arytmetyka modularna, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym, testy pierwszości. (4 godz.) |
Metody dydaktyczne: |
Wykład, połączony z prezentacją, prowadzony metodą konwersatoryjną. |
Grupy zajęciowe
Grupa | Termin(y) | Prowadzący |
Miejsca |
Akcje |
---|---|---|---|---|
1 |
każdy wtorek, 8:00 - 10:00,
sala 233 |
Alfred Czogała | 20/18 |
|
Wszystkie zajęcia odbywają się w budynku: Wydział Nauk Ścisłych i Technicznych (Katowice, ul. Bankowa 14) |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Ślaski w Katowicach.