Uniwersytet Ślaski w Katowicach - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

ARYTMETYKA 0301-MT-N2-14-ART
Konwersatorium (K) semestr zimowy 2016/2017

Informacje o zajęciach (wspólne dla wszystkich grup)

Strona zajęć: http://el.us.edu.pl/wmfich/course/view.php?id=229
Liczba godzin: 15
Limit miejsc: 30
Zaliczenie: Zaliczenie na ocenę
Literatura:

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

Metody i kryteria oceniania:

I. Aktywność na zajęciach.

II. Sprawdziany pisemne:

Przewidziane są dwa kolokwia mające na celu sprawdzanie wymienionych poniżej umiejętności. Sprawdzenie odbywa się na podstawie zadań przedłożonych do samodzielnego rozwiązania. Podstawowym kryterium jest poprawność rozwiązań wskazująca na opanowanie sprawdzanych umiejętności.

III. Wymagania merytoryczne:

1. Umiejętność dowodzenia własności zbioru liczb naturalnych w oparciu o aksjomaty. Umiejętność dowodzenia własności zbiorów liczbowych Z, Q, R w oparciu o ich konstrukcje.

2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami pierścienia liczb całkowitych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania wartości wykładnika p-adycznego, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, dowodzenia własności liczb pierwszych, stosowania algorytmu Euklidesa i rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną, rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach, wyprowadzania i stosowania cech podzielności.

4. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych.

5. Umiejętność: swobodnego operowania podstawowymi funkcjami arytmetycznymi, obliczania i stosowania splotu Dirichleta.

6. Umiejętność: rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt, wyznaczania wszystkich pierwiastków pierwotnych modulo m (o ile istnieją), obliczania i wykorzystywania indeksów.

7. Umiejętność: obliczania wartości symbolu Legendre’a, stosowania lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych.

8. Umiejętność: swobodnego operowania ułamkami łańcuchowymi i pojęciami z nimi związanymi, rozwijania liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe i przybliżania ich reduktami ułamków łańcuchowych (wraz z szacowaniem dokładności tego przybliżenia), znajdowania liczb o zadanym rozwinięciu na ułamek łańcuchowy skończony lub okresowy, wykorzystania twierdzenia Liouville’a do konstrukcji liczb przestępnyh.

9. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella .

Zakres tematów:

1. Ciała lokalne i globalne - konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych, ciała lokalne i globalne.

2. Arytmetyczne własności pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa.

3. Pierścienie reszt: kongruencje, pierścienie reszt, chińskie twierdzenie o resztach, rozwiązywanie kongruencji liniowych.

4. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze.

5. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych, liczby doskonałe.

6. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy i ich zastosowania.

7. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego.

8. Ułamki łańcuchowe: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a.

9. Wybrane równania diofantyczne: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata.

10. Wybrane zastosowania narzędzi teorioliczbowych: arytmetyka modularna, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym, testy pierwszości.

Metody dydaktyczne:

I. Opis zajęć:

1. Rozwiązywanie zadań przy aktywnym udziale studentów.

2. Wyjaśnianie trudniejszy pojęć i faktów z wykładu.

3. Omawianie rozwiązań przedstawionych przez słuchaczy.

II. Opis pracy własnej studenta:

Samodzielne rozwiązywanie zadań z zestawów zadań dostarczonych przez wykładowcę.

Grupy zajęciowe

zobacz na planie zajęć

Grupa Termin(y) Prowadzący Miejsca Akcje
1 co drugi piątek (parzyste), 15:30 - 17:00, sala 208
Alfred Czogała 9/30 szczegóły
Wszystkie zajęcia odbywają się w budynku:
Bankowa 14
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Ślaski w Katowicach.