Uniwersytet Ślaski w Katowicach - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

ALGEBRA A

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 0301-ALGA-IS-07 Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA A
Jednostka: Instytut Matematyki
Grupy:
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Poziom przedmiotu:

średnio zaawansowany

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowy

Pełny opis:

Półgrupy: półgrupy, przykłady i elementarne własności półgrup, homomorfizmy i izomorfizmy półgrup, półgrupy wolne, półgrupy abelowe wolne.

Grupy: grupy i podgrupy, zbiory generatorów grup, podgrupy normalne, grupy ilorazowe, homomorfizmy grup, grupy przekształcen, działanie grupy na zbiorze, przechodnie grupy permutacji.

Pierścienie: pierścienie przemienne z jedynką, specjalne typy elementów w pierścieniach, podpierścienie i ich zbiory generatorów, ideały w pierścieniach, pierścien ilorazowy, homomorfizmy pierścieni, ideały pierwsze i maksymalne, ideały i jednoznaczny rozkład w pierścieniu wielomianów jednej zmiennej, pierścien szeregów potęgowych, wielomiany wielu zmiennych, wielomiany symetryczne.

Elementy teorii liczb: kongruencje, cechy podzielności, chińskie twierdzenie o resztach, funkcja Eulera, twierdzenie Eulera, Małe Twierdzenie Fermata, równania diofantyczne stopnia pierwszego.

Ciała: ciało, podciało, zanurzenie ciał, konstrukcja ciała ułamków pierścienia całkowitego, charakterystyka ciała, ciała proste, rozszerzenia ciał, baza i stopien rozszerzenia, elementy algebraiczne i przestępne, struktura rozszerzenia prostego o element algebraiczny, rozszerzenia algebraiczne, ciało rozkładu wielomianu, informacje o ciałach algebraicznie domknietych.

Ciała skończone: ciała skończone – istnienie i jednoznaczność, struktura multyplikatywnej grupy ciała skończonego, reprezentacje elementów ciała skończonego, informacje o automorfizmach ciał skończonych i rozkładach wielomianów nad ciałami skończonymi.

Obliczeniowe aspekty teorii liczb: struktura grupy U(Zn), pierwiastki pierwotne, reszty stopnia n modulo m, reszty kwadratowe, symbol Legendre’a, liczby pseudopierwsze, testy pierwszości, metody rozkładu na czynniki.

Efekty kształcenia:

Dostrzeganie struktur algebraicznych (półgrup, grup, pierscieni, ciał) w znanych obiektach matematycznych występujacych zarówno w innych działach matematyki jak i w różnych zastosowaniach praktycznych, wyrażanie obserwowanych faktów (np. z elementarnej teorii liczb, analizy matematycznej, geometrii, informatyki) w terminach algebraicznych, umiejętne wykorzystywanie poznanych narzedzi algebraicznych do opisu badanych obiektów.

Literatura:

  1. A. Białynicki-Birula, Algebra, Bibl. Mat. t. 40, PWN 1971
  2. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl. Mat. 49, PWN 1977
  3. M. Ch. Klin, R. Poschel, K. Rosenbaum, Algebra stosowana dla matematyków i informatyków, WNT 1992
  4. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, WNT 1995
  5. R. Lidl, H. Niederreiter, Finite Fields, Addison-Wesley 1983 (wyd. rosyjskie: Mir 1988)
  6. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, Bibl. Mat.17, PWN 1965
  7. A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry, cz. 1: Podstawy algebry, PWN 2004
  8. W. Sierpinski, Arytmetyka teoretyczna, Bibl. Mat. 7, PWN 1967


Zbiory zadań


  1. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN 1981
  2. A. I. Kostrykin (red. ), Zbiór zadań z algebry, PWN 2005
  3. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN 2000
  4. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN 1989
Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Ślaski w Katowicach.