ALGEBRA A

Półgrupy: półgrupy, przykłady i elementarne własności półgrup, homomorfizmy i izomorfizmy półgrup, półgrupy wolne, półgrupy abelowe wolne.

Grupy: grupy i podgrupy, zbiory generatorów grup, podgrupy normalne, grupy ilorazowe, homomorfizmy grup, grupy przekształcen, działanie grupy na zbiorze, przechodnie grupy permutacji.

Pierścienie: pierścienie przemienne z jedynką, specjalne typy elementów w pierścieniach, podpierścienie i ich zbiory generatorów, ideały w pierścieniach, pierścien ilorazowy, homomorfizmy pierścieni, ideały pierwsze i maksymalne, ideały i jednoznaczny rozkład w pierścieniu wielomianów jednej zmiennej, pierścien szeregów potęgowych, wielomiany wielu zmiennych, wielomiany symetryczne.

Elementy teorii liczb: kongruencje, cechy podzielności, chińskie twierdzenie o resztach, funkcja Eulera, twierdzenie Eulera, Małe Twierdzenie Fermata, równania diofantyczne stopnia pierwszego.

Ciała: ciało, podciało, zanurzenie ciał, konstrukcja ciała ułamków pierścienia całkowitego, charakterystyka ciała, ciała proste, rozszerzenia ciał, baza i stopien rozszerzenia, elementy algebraiczne i przestępne, struktura rozszerzenia prostego o element algebraiczny, rozszerzenia algebraiczne, ciało rozkładu wielomianu, informacje o ciałach algebraicznie domknietych.

Ciała skończone: ciała skończone – istnienie i jednoznaczność, struktura multyplikatywnej grupy ciała skończonego, reprezentacje elementów ciała skończonego, informacje o automorfizmach ciał skończonych i rozkładach wielomianów nad ciałami skończonymi.

Obliczeniowe aspekty teorii liczb: struktura grupy U(Z_n), pierwiastki pierwotne, reszty stopnia n modulo m, reszty kwadratowe, symbol Legendre’a, liczby pseudopierwsze, testy pierwszości, metody rozkładu na czynniki.

Efekty kształcenia:

Dostrzeganie struktur algebraicznych (półgrup, grup, pierscieni, ciał) w znanych obiektach matematycznych występujacych zarówno w innych działach matematyki jak i w różnych zastosowaniach praktycznych, wyrażanie obserwowanych faktów (np. z elementarnej teorii liczb, analizy matematycznej, geometrii, informatyki) w terminach algebraicznych, umiejętne wykorzystywanie poznanych narzedzi algebraicznych do opisu badanych obiektów.