Uniwersytet Ślaski w Katowicach - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Arytmetyka

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 0301-MT-N2-12-ART Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Arytmetyka
Jednostka: Instytut Matematyki
Grupy: Przedmioty monograficzne - matematyka /niestacjonarne II st./
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Poziom przedmiotu:

średnio zaawansowany

Rodzaj przedmiotu:

monograficzny

Wymagania wstępne:

Brak

Skrócony opis:

1. Podstawowe zbiory liczbowe.

2. Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych.

3. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie.

4. Podstawowe funkcje arytmetyczne.

5. Pierwiastki pierwotne modulo m.

6. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności.

7. Aproksymacje diofantyczne.

8. Analiza diofantyczna.

9. Aspekty praktyczne teorii liczb.

Pełny opis:

1. Podstawowe zbiory liczbowe: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych.

2. Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa, kongruencje, pierścienie reszt, chińskie twierdzenie o resztach, rozwiązywanie kongruencji liniowych.

3. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, funkcja zeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych, hipoteza Riemanna, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze.

4. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych.

5. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, hipoteza Artina, indeksy i ich zastosowania.

6. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a.

8. Analiza diofantyczna: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, wybrane równania eliptyczne, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata.

9. Aspekty praktyczne teorii liczb: algorytmy rozkładu na czynniki, probabilistyczne testy pierwszości, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym.

Literatura:

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. W.Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1969.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

7. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

Efekty uczenia się:

1. Posiada pogłębioną wiedzę na temat metod i technik w zakresie arytmetyki i teorii liczb.

2. Zna większość przedstawianych na wykładzie definicji i twierdzeń z zakresu arytmetyki i teorii liczb.

3. Potrafi w ramach arytmetyki wskazać związki z innymi dziedzinami, a także rozumie zagadnienia znajdujące się na etapie badań.

4. Potrafi zastosować zdobytą wiedzę w innych działach matematyki czystej i stosowanej.

5. Potrafi stawiać i analizować problemy matematyczne w oparciu o wyłożoną teorię oraz jest w stanie nawiązać kontakt ze

specjalistami z innych dziedzin matematyki.

6. Potrafi w przedstawionej w ramach wykładu wiedzy precyzyjnie formułować pytania dla pogłębienia własnej wiedzy, a także

analogie z twierdzeniami i pojęciami wyłożonymi w ramach innych wykładów.

7. Potrafi samodzielnie studiować literaturę naukową w ramach wyłożonego przedmiotu.

Metody i kryteria oceniania:

Aktywność na zajęciach: znajomość prezentowanych na wykładzie pojęci i faktów oraz umiejętność zastosowania ich do prostych problemów praktycznych.

Sprawdziany pisemne: umiejętność zastosowania poznanej wiedzy do rozwiązywania złożonych zadań.

Egzamin pisemny: umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej i szczegółowych umiejętności praktycznych w przedłożonych do rozwiązania zadaniach i problemach.

Egzamin ustny: wiedza w zakresie treści modułu oraz umiejętność wskazania związku arytmetyki z innymi działami matematyki oraz głównych zastosowań pojęć i faktów arytmetycznych.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Ślaski w Katowicach.