ARYTMETYKA

zaawansowany

monograficzny

Algebra i analiza w zakresie studiów matematycznych I stopnia.

Przedstawiona zostanie pogłębiona wiedza na temat metod i technik stosowanych w arytmetyce i teorii liczb, ich związek z innymi działami matematyki oraz problemy otwarte z zakresu teorii liczb.

Omówione zostaną następujące tematy: konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych; jednoznaczność rozkładu na czynniki; liczby pierwsze i ich rozmieszczenie; podstawowe funkcje arytmetyczne; arytmetyka modularna; symbol Legendre’a i symbol Jacobiego, prawo wzajemności reszt kwadratowych; aproksymacje diofantyczne; liczby algebraiczne i przestępne; analiza diofantyczna; aspekty praktyczne teorii liczb (testy pierwszości, rekordowe liczby pierwsze, algorytmy rozkładu na czynniki, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym).

1. Podstawowe zbiory liczbowe: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych.

2. Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, zasadnicze twierdzenie arytmetyki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa, kongruencje, pierścienie reszt, chińskie twierdzenie o resztach, rozwiązywanie kongruencji liniowych.

3. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, funkcja zeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych, hipoteza Riemanna, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze.

4. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych.

5. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, hipoteza Artina, indeksy i ich zastosowania.

6. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a.

8. Analiza diofantyczna: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, wybrane równania eliptyczne, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata.

9. Aspekty praktyczne teorii liczb: algorytmy rozkładu na czynniki, probabilistyczne testy pierwszości, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym.

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. W.Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1969.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

3. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

1. Posiada pogłębioną wiedzę na temat metod i technik z zakresy arytmetyki.

2. Zna w ramach przedstawianych na wykładzie treści arytmetycznych większość definicji i twierdzeń.

3. Potrafi w ramach arytmetyki i teorii liczb wskazać związki z innymi dziedzinami, a także rozumie zagadnienia znajdujące się na

etapie badań.

4. Potrafi stawiać i analizować problemy matematyczne w oparciu o wyłożoną teorię oraz jest w stanie nawiązać kontakt ze

specjalistami z innych dziedzin matematyki.

5. Potrafi w przedstawionej w ramach wykładu wiedzy precyzyjnie formułować pytania dla pogłębienia własnej wiedzy, a także

analogie z twierdzeniami i pojęciami wyłożonymi w ramach innych wykładów.

6. Potrafi samodzielnie studiować literaturę naukową z zakresu arytmetyki i teorii liczb

1. Aktywność na zajęciach.

2. Sprawdziany pisemne.

3. Egzamin.