ARYTMETYKA

Przedstawiona zostanie pogłębiona wiedza na temat metod i technik stosowanych w arytmetyce i teorii liczb, ich związek z innymi działami matematyki oraz problemy otwarte z zakresu teorii liczb.

Omówione zostaną następujące tematy: konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych; jednoznaczność rozkładu na czynniki; liczby pierwsze i ich rozmieszczenie; podstawowe funkcje arytmetyczne; arytmetyka modularna; symbol Legendre’a i symbol Jacobiego, prawo wzajemności reszt kwadratowych; aproksymacje diofantyczne; liczby algebraiczne i przestępne; analiza diofantyczna; aspekty praktyczne teorii liczb (testy pierwszości, rekordowe liczby pierwsze, algorytmy rozkładu na czynniki, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym).

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. W.Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1969.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

3. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

1. Aktywność na zajęciach.

2. Sprawdziany pisemne.

3. Egzamin.

W trakcie realizacji modułu przedstawiona zostanie pogłębiona wiedza na temat metod i technik stosowanych w arytmetyce i teorii liczb, ich związek z innymi działami matematyki oraz problemy otwarte z zakresu teorii liczb.

Omówione zostaną następujące tematy: ciała lokalne i globalne, teoria podzielności w pierścieniach euklidesowych, zastosowania jednoznaczności rozkładu na czynniki, kongruencje w pierścieniach, chińskie twierdzenie o resztach, struktura pierścienia reszt modulo n, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego, rozmieszczenie liczb pierwszych, funkcja dzeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych, testy pierwszości, algorytmy rozkładu na czynniki, aproksymacje diofantyczne, elementy analizy diofantycznej, problem Waringa, wybrane zastosowania teorii liczb

W trakcie realizacji modułu przedstawiona zostanie pogłębiona wiedza na temat metod i technik stosowanych w arytmetyce i teorii liczb, ich związek z innymi działami matematyki oraz problemy otwarte z zakresu teorii liczb.

Omówione zostaną następujące tematy: ciała lokalne i globalne - konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych, arytmetyczne własności pierścienia liczb całkowitych, pierścienie reszt, liczby pierwsze i ich rozmieszczenie, podstawowe funkcje arytmetyczne, liczby doskonałe, pierwiastki pierwotne modulo m,

reszty kwadratowe i prawo wzajemności, ułamki łańcuchowe, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a, wybrane równania diofantyczne, Wielkie Twierdzenie Fermata, wybrane zastosowania narzędzi teorioliczbowych: arytmetyka modularna, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym, testy pierwszości.

W ramach modułu „Wykład monograficzny - Arytmetyka” przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i związki między nimi z zakresu arytmetyki i teorii liczb. Omówione zostaną główne twierdzenia i fakty teorioliczbowe, przykłady ich zastosowań oraz związków z innymi działami matematyki. Przedstawione zostaną także wybrane problemy otwarte z zakresu teorii liczb i próby ich rozwiązania.