ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ B

Moduł ,,Algebra liniowa z geometrią B" ma na celu wykształcenie umiejętności swobodnego posługiwania się podstawowymi pojęciami i narzędziami z zakresu algebry liniowej i geometrii głównie w zakresie afinicznych przestrzeni euklidesowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych:

1. Przestrzenie liniowe: definicja i przykłady, podprzestrzeń, suma podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa, układy wektorów i ich kombinacje liniowe, podprzestrzeń rozpięta na układzie, liniowa zależność, baza przestrzeni, wymiar.

2. Przestrzenie afiniczne: definicja i przykłady, podprzestrzenie przestrzeni afinicznych a układy równań liniowych, układy punktów i ich środki ciężkości, afiniczne układy współrzędnych.

3. Przekształcenia liniowe: definicja i przykłady, jądro i obraz, macierz przekształcenia liniowego, sposoby określania przekształceń liniowych, zmiana baz, przestrzeń sprzężona.

4. Przekształcenia afiniczne: definicja i przykłady, przekształcenia afiniczne a przekształcenia liniowe, sposoby określania przekształceń afinicznych.

5. Wartości i wektory własne: podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu, wartość i wektor własny, diagonalizacja macierzy, zastosowania wartości i wektorów własnych.

6. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe: definicja i przykłady, macierz funkcjonału, przestrzeń dwuliniowa i jej nieosobliwość, bazy prostopadłe i metody ortogonalizacji, rzeczywiste i zespolone przestrzenie dwuliniowe, sygnatura rzeczywistej przestrzeni dwuliniowej, kryterium Sylvestera, izomorfizmy przestrzeni dwuliniowych, grupa ortogonalna, endomorfizmy samosprzężone.

7. Liniowe i afiniczne przestrzenie euklidesowe: norma i metryka euklidesowa, kąty i ich miary, izometrie liniowe i afiniczne oraz twierdzenia o rozkładach, rzutowania, macierz i wyznacznik Grama, miary wielościanów i sympleksów.

8. Hiperpowierzchnie stopnia 2: definicja i przykłady z nawiązaniem do wiadomości z wykładu „Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej B”, informacje o postaciach kanonicznych i klasyfikacji hiperpowierzchni stopnia 2.

1. Student zna pojęcia i rezultaty z zakresu algebry liniowej i geometrii.

2. Student potrafi rozpoznawać strukturę przestrzeni liniowej i afinicznej nad dowolnym ciałem oraz ich podprzestrzeni w konkretnych przykładach.

3. Student potrafi sprawdzić liniową niezależność wektorów oraz znaleźć bazę i wymiar przestrzeni.

4. Student potrafi tworzyć nowe przestrzenie liniowe drogą konstrukcji ilorazowych oraz produktów kartezjańskich.

5. Student umie stosować przekształcenia liniowe, znajdować macierze w różnych bazach, obliczać wartości i wektory własne endomorfizmów oraz stosować je w zagadnieniach geometrycznych.

6. Student umie sprowadzać macierze do postaci kanonicznej i potrafi powiązać to z klasyfikacją utworów stopnia 2.

7. Student umie przy pomocy wyznaczników rozpoznawać przestrzenie euklidesowe.

8. Student potrafi posługiwać się macierzami oraz ich wyznacznikami różnych obiektów w dowolnych przestrzeniach euklidesowych.

Opis taki, jak w podstawowych informacjach o przedmiocie (niezależnie od cyklu)

Opis taki, jak w podstawowych informacjach o przedmiocie (niezależnie od cyklu)