ALGEBRA DWULINIOWA

monograficzny

brak wymagań wstępnych

Przewiduje się realizację następujących treści programowych:

1. Przestrzenie dwuliniowe.

2. Sumy i iloczyny przestrzeni dwuliniowych.

3. Twierdzenia Witta.

4. Rozkład Witta.

5. Pierścień Witta.

6. Formy Pfistera.

7. Równoważność Witta.

Przewiduje się realizację następujących treści programowych:

1. Przestrzenie dwuliniowe: definicja i przykłady przestrzeni dwuliniowych, bazy i macierze przestrzeni dwuliniowych, wyznacznik przestrzeni dwuliniowej, płaszczyzna hiperboliczna, izometrie, przestrzenie nieosobliwe, ortogonalne dopełnienie, diagonalizacja, przestrzenie dwuliniowe symetryczne a formy kwadratowe.

2. Sumy i iloczyny przestrzeni dwuliniowych: sumy proste ortogonalne przestrzeni dwuliniowych, iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych, iloczyn tensorowy przestrzeni dwuliniowych, suma prosta ortogonalna i iloczyn tensorowy form kwadratowych.

3. Twierdzenia Witta: twierdzenie Witta o przedłużaniu izometrii, twierdzenie Witta o skracaniu, zmiany dwójkowe w bazach ortogonalnych, twierdzenie Witta o zmianach dwójkowych.

4. Rozkład Witta: przestrzenie hiberboliczne i metaboliczne, istnienie i jednoznaczność rozkładu Witta, wskaźnik izotropowości przestrzeni.

5. Pierścień Witta: klasy podobieństwa przestrzeni symetrycznych, grupa Witta, pierścień Witta, ideał fundamentalny, wyróżnik i kwadrat ideału fundamentalnego, pierścień Witta form kwadratowych.

6. Formy Pfistera: własności multyplikatywne form Pfistera, indeks Pfistera ciała nierzeczywistego.

7. Równoważność Witta: równoważność ciał ze względu na formy kwadratowe, równoważność Witta ciał.

1. T. Y. Lam, The algebraic theory of quadratic forms, Benjamin, Reading 1973.

2. K. Szymiczek, Bilinear algebra. An introduction to the algebraic theory of quadratic forms, Algebra, Logic and Applications Series, Vol. 7, Gordon and Breach 1997.

3. K. Szymiczek, Wykłady z algebry dwuliniowej, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1991.

1. Student posiada ogólną wiedzę na temat metod i technik omawianych na wykładzie.

2. Student potrafi w ramach przedstawianych na wykładzie treści stosować zasady i metody algebry dwuliniowej.

3. Student potrafi zastosować zdobytą wiedzę w innych działach matematyki.

4. Student potrafi stawiać i analizować problemy algebraiczne w oparciu o wyłożoną teorię oraz zaprezentowane techniki badawcze.

5. Student potrafi dostrzegać analogie w przedstawionej w ramach wykładu wiedzy, a także analogie z twierdzeniami i pojęciami wyłożonymi w ramach innych wykładów.

1. Aktywność na zajęciach: weryfikacja znajomości treści wykładów na podstawie pytań zadawanych przez prowadzącego konwersatorium.

2. Sprawdziany pisemne: weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań.

3. Egzamin: weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań egzaminacyjnych, weryfikacja znajomości pojęć i faktów w oparciu o analizę odpowiedzi na pytania egzaminacyjne o charakterze teoretycznym.