Algebra dwuliniowa

monograficzny

brak wymagań wstępnych

1. Przestrzenie dwuliniowe.

2. Sumy i iloczyny przestrzeni dwuliniowych.

3. Twierdzenia Witta.

4. Grupa izometrii przestrzeni dwuliniowej.

5. Rozkład Witta.

6. Pierścień Witta.

7. Formy Pfistera.

8. Własności pierścieni Witta.

9. Równoważność Witta.

1. Przestrzenie dwuliniowe: definicja i przykłady przestrzeni dwuliniowych, bazy i macierze przestrzeni dwuliniowych, wyznacznik przestrzeni dwuliniowej, płaszczyzna hiperboliczna, izometrie, przestrzenie nieosobliwe, ortogonalne dopełnienie, diagonalizacja, przestrzenie dwuliniowe symetryczne a formy kwadratowe.

2. Sumy i iloczyny przestrzeni dwuliniowych: sumy proste ortogonalne przestrzeni dwuliniowych, iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych, iloczyn tensorowy przestrzeni dwuliniowych, suma prosta ortogonalna i iloczyn tensorowy form kwadratowych.

3. Twierdzenia Witta: symetrie przestrzeni dwuliniowych, twierdzenie Witta o przedłużaniu izometrii, twierdzenie Witta o skracaniu, zmiany dwójkowe w bazach ortogonalnych, twierdzenie Witta o zmianach dwójkowych.

4. Grupa izometrii przestrzeni dwuliniowej: reprezentacja macierzowa grupy izometrii, grupa ortogonalna, twierdzenie Cartana-Dieudonné.

5. Rozkład Witta: przestrzenie hiberboliczne i metaboliczne, istnienie i jednoznaczność rozkładu Witta, wskaźnik izotropowości przestrzeni.

6. Pierścień Witta: klasy podobieństwa przestrzeni symetrycznych, grupa Witta, pierścień Witta, ideał fundamentalny, wyróżnik i kwadrat ideału fundamentalnego, pierścień Witta form kwadratowych.

7. Formy Pfistera: własności multyplikatywne form Pfistera, indeks Pfistera ciała nierzeczywistego.

8. Własności pierścieni Witta: ciała formalnie rzeczywiste i ciała uporządkowane, sygnatura, własności pierścienia Witta ciała nierzeczywistego, ideały pierwsze pierścienia Witta a porządki.

9. Równoważność Witta: równoważność ciał ze względu na formy kwadratowe, równoważność Witta ciał.

1. T. Y. Lam, The algebraic theory of quadratic forms, Benjamin, Reading 1973.

2. K. Szymiczek, Bilinear algebra. An introduction to the algebraic theory of quadratic forms, Algebra, Logic and Applications Series, Vol. 7, Gordon and Breach 1997.

3. K. Szymiczek, Wykłady z algebry dwuliniowej, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1991.

1. Student posiada pogłębioną wiedzę na temat metod i technik omawianych na wykładzie.

2. Student zna w ramach przedstawianych na wykładzie treści większość definicji i twierdzeń.

3. Student potrafi w ramach wykładanej dziedziny wskazać związki z innymi dziedzinami, a także rozumie zagadnienia znajdujące się na etapie badań.

4. Student potrafi zastosować zdobytą wiedzę w innych działach matematyki czystej i stosowanej.

5. Student potrafi stawiać i analizować problemy matematyczne w oparciu o wyłożoną teorię oraz jest w stanie nawiązać kontakt ze specjalistami z innych dziedzin matematyki.

6. Student potrafi w przedstawionej w ramach wykładu wiedzy precyzyjnie formułować pytania dla pogłębienia własnej wiedzy, a także analogie z twierdzeniami i pojęciami wyłożonymi w ramach innych wykładów.

7. Student potrafi samodzielnie studiować literaturę naukową w ramach wyłożonego przedmiotu.

1. Aktywność na zajęciach: weryfikacja znajomości treści wykładów na podstawie pytań zadawanych przez prowadzącego konwersatorium na zajęciach.

2. Sprawdziany pisemne: weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań w trakcie sprawdzianów pisemnych.

3. Egzamin pisemny: weryfikacja umiejętności na podstawie analizy rozwiązań zadań egzaminacyjnych, weryfikacja znajomości pojęć i faktów w oparciu o analizę odpowiedzi na pytania egzaminacyjne o charakterze teoretycznym.