Selected Topics in Inequalities

monograficzny / fakultatywny

Analiza funkcjonalna

1. Funkcje wypukłe.

2. Funkcje podaddytywne.

3. Funkcje podliniowe.

4. Odwzorowania nadaddytywne i nadmultyplikatywne.

5. Zespolone odwzorowania liniowo-multyplikatywne.

6. Wzmocnienia warunku trójkąta.

7. Wypukłość przestrzeni Banacha.

8. Odwzorowania aproksymatywnie addytywne.

9. Odwzorowania prawie addytywne.

10. Kraty wektorowe.

11. Operatory nieujemne.

1. Funkcje wypukłe

Zbiory J-wypukłe, zbiory wypukłe, otoczka wypukła, odwzorowania J-wypukłe, odwzorowania wypukłe, lokalna ograniczoność funkcji, twierdzenie Bernsteina-Doetscha.

2. Funkcje podaddytywne.

Funkcje podaddytywne, przykłady, funkcje podaddytywne różniczkowalne w zerze, związek podaddytywności z wypukłością, otwarte oraz mierzalne półgrupy, twierdzenie Rosenbauma.

3. Funkcje podliniowe.

Funkcje podliniowe, twierdzenie kanapkowe, istnienie funkcjonałów podpierających, reprezentacja funkcjonałów podliniowych określonych na grupie abelowej, reprezentacja funkcjonałów podliniowych określonych na przestrzeni Hilberta.

4. Odwzorowania nadaddytywne i nadmultyplikatywne.

Przestrze C(X), funkcjonały addytywno-multyplikatywne, operatory addytywno-multyplikatywne, operatory nadaddytywne i nadmultyplikatywne, kontrprzykłady.

5. Zespolone odwzorowania liniowo-multyplikatywne.

Algebra zespolona, algebra Banacha, przykłady, homomorfizmy zespolone, twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki, widmo elementu, twierdzenie Kowalskiego-Słodkowskiego.

6. Wzmocnienia warunku trójkąta.

Nierówność Maligrandy, nierówność Massery-Schäffera, nierówność Dunkla-Williamsa, rzutowanie radykału, tożsamość Tarskiego.

7. Wypukłość przestrzeni Banacha.

Moduł wypukłości, moduł gładkości, przestrzenie ściśle wypukłe, przestrzenie gładkie, przestrzenie jednostajnie wypukłe, przestrzenie jednostajnie gładkie, twierdzenie Jordana-von Neumanna,

moduł wypukłości i moduł gładkości przestrzeni Hilberta, oszacowanie modułu wypukłości w przestrzeni dwuwymiarowej.

8. Odwzorowania aproksymatywnie addytywne.

Problem Ulama, twierdzenie Hyersa, uogólnienia, kontrprzykład.

9. Odwzorowania prawie addytywne.

Problem Erdösa, odpowiedź, twierdzenie odwrotne, modyfikacja problemu.

10. Kraty wektorowe.

Zbiory częściowo uporządkowane, kraty, uporządkowane przestrzenie wektorowe, krata wektorowa, zupełność w sensie

Dedekinda, zbieżność porządkowa, ideały, wstęgi, silna jedność, słaba jedność.

11. Operatory nieujemne.

Operatory nieujemne, operatory regularne, operatory porządkowo ograniczone, twierdzenie Kantorowicza o rozszerzaniu, wzory Riesza-Kantorowicza, własność lokalnej aproksymacji dla operatorów nieujemnych, ciągłość operatorów nieujemnych, homomorfizmy krat wektorowych.

[1] Charalambos D. Aliprantis and Owen Burkinshaw, Positive operators, Springer, Dordrecht, 2006. Reprint of the 1985 original. MR2262133

[2] Y. A. Abramovich and C. D. Aliprantis, An invitation to operator theory, Graduate Studies in Mathematics, vol. 50, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. MR1921782

(2003h:47072)

[3] Yoav Benyamini and Joram Lindenstrauss, Geometric nonlinear functional analysis. Vol. 1, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 48, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. MR1727673 (2001b:46001)

[4] Benno Fuchssteiner, Sandwich theorems and lattice semigroups, J. Functional Analysis 16 (1974), 1–14. MR0345889 (49 #10619)

[5] Zbigniew Gajda, On stability of additive mappings, Internat. J. Math. Math. Sci. 14 (1991), no. 3, 431–434, DOI 10.1155/S016117129100056X. MR1110036 (92e:39029)

[6] Roman Ger, Fischer-Muszély additivity on abelian groups, Comment. Math. Prace Mat. Tomus specialis in Honorem Juliani Musielak (2004), 82–96. MR2111757 (2005i:39028)

[7] ROman Ger, Sublinear functionals and weak-compactness, Pr. Nauk. Akad. Jana Długosza Czest. Mat. 10 (2005), 67–76. MR2256070 (2007g:46013)

[8] Einar Hille and Ralph S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 31, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1957. rev. ed. MR0089373 (19,664d)

[9] D. H. Hyers, On the stability of the linear functional equation, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 27 (1941), 222–224. MR0004076 (2,315a)

[10] S. Kowalski and Z. Słodkowski, A characterization of multiplicative linear functionals in Banach algebras, Studia Math. 67 (1980), no. 3, 215–223. MR592387 (82d:46070)

[11] Marek Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, 2nd ed., Birkhäuser Verlag, Basel, 2009. Cauchy’s equation and Jensen’s inequality; Edited and with a preface by Attila Gilányi.

[12] Lech Maligranda, Simple norm inequalities, Amer. Math. Monthly 113 (2006), no. 3, 256–260, DOI 10.2307/27641893. MR2204489 (2007d:51021)

[13] Lech Maligranda, Some remarks on the triangle inequality for norms, Banach J. Math. Anal. 2 (2008), no. 2, 31–41. MR2404101 (2009e:46012)

[14] Marius Radulescu, On a supra-additive and supra-multiplicative operator of C(X), Bull. Math. Soc. Sci. Math. R. S. Roumanie (N.S.) 24(72) (1980), no. 3, 303–305. MR611909 (82g:47024)

[15] Themistocles M. Rassias, On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 72 (1978), no. 2, 297–300, DOI 10.2307/2042795. MR507327 (80d:47094)

[16] Walter Rudin, Functional analysis, 2nd ed., International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill Inc., New York, 1991. MR1157815 (92k:46001)

student będzie:



zapoznany ze złożonymi technikami analizy funkcjonalnej i teorii operatorów;

posiadał wiedzę o wymaganych technikach analitycznych; w szczególności z analizy funkcjonalnej;



potrafił rozwiązywać złożone problemy dotyczące różnych typów nierówności;



miał możliwość podjęcia próby rozwiązania otwartych problemów aktualnych badań;



potrafił dostrzegać związki z innymi dziedzinami matematyki, takimi jak analiza funkcjonalna i teoria operatorów.

egzamin ustny

nie dotyczy