Układy dynamiczne na miarach - modele fizyczne i biologiczne

średnio zaawansowany

specjalistyczny

Realizacja efektów kształcenia modułów: Teorii Prawdopodobieństwa

i Procesy Stochastyczne

Metryki i normy w przestrzeni miar znakozmiennych. Zasady maksimum dla podstawowych metryk.

Zasady maksimum w teorii stabilności układów dynamicznych na miarach:

a) Modelowanie zderzeń cząstek w gazie rzadkim,

b) Modele biologiczne,

c) Modelowanie cyklu komórkowego,

d) Uogólnione Iterowane Układy Funkcyjne.o.

Wprowadzenie. Twierdzenia o podnoszeniu kontrakcji nad zbiorem zwartym. Metryki i normy w przestrzeni miar znakozmiennych. Problem transportu masy a zasady maksimum dla podstawowych metryk: Kantorowicza–Wassersteina, Fortet–Mouriera oraz całkowitego wahania.

Zasady maksimum oraz zasady niezmienniczości w teorii stabilności układów dynamicznych na miarach:

a) układy dynamiczne generowane przez różne wersje równań typu Boltzmanna na miarach – modelowanie zderzeń cząstek w gazie rzadkim,

b) twierdzenia graniczne a sperturbowane układy dynamiczne z czasem dyskretnym – modele biologiczne,

c) układy dynamiczne generowane przez impulsowe równanie Poissona (znane też jako stochastyczne równanie z zaburzeniami typu Poissona) – w modelowaniu cyklu komórkowego,

d) uogólnione Iterowane Układy Funkcyjne – konstrukcje matematycznych modeli cyklu komórkowego.

1. H. Gacki, Applications of the Kantorovich-Rubinstein maximum principle in the theory of Markov semigroups, Dissertationes Mathematicae 448 (2007), 1–59.

2. H. Gacki, Skrypt – A. Lasota, Układy dynamiczne na miarach, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice 2009.

3. L. V. Kantorovich, G. S. Rubinstein, On a space of completely additive functions (in Russian), Vestnik Leningrad Univ. 13 (1958), 52–59.

4. J. P. Lasalle, The Stability of Dynamical Systems},

Regional Conference Series in Applied Mathematics 25, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelfia 1976.

5. A. Lasota and M. C. Mackey, Chaos, Fractals, and Noise,

Springer–Verlag, Berlin 1994.

6. A. Lasota and M. C. Mackey, Cell division and the stability

of cellular populations, J. Math. Biol. 38 (1999), 241–261.

7. G. Monge, Mémoire sur la théorie des déblais et des ermblais, Histoire de l'Académie des Sciences de Paris, avec les Mémoires de mathématique et de phisique pour la méme année, pp. 666--704, avec 2 pl. (1781).

1. Student posiada dogłębną wiedzę z podstawowych działów matematyki

2.Student zna podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa i ich właściwości, oraz umie je stosować od strony praktycznej.

3. Ma zdolności rozpoznawania struktur matematycznych w wybranych teoriach nauk przyrodniczych.

Ocena końcowa modułu wystawiana jest na podstawie oceny z prezentacji studenta, podczas której przedstawi on wskazane przez prowadzącego zagadnienie teoretyczne lub rozwiązanie wskazanego przez prowadzącego problemu (50 %) oraz przedstawienie dowodu twierdzenia wskazanego przez prowadzącego (50 %).