ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ

podstawowy

obowiązkowy

Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej

Moduł Algebra liniowa z geometrią ma na celu wykształcenie umiejętności swobodnego posługiwania się podstawowymi pojęciami i narzędziami z zakresu algebry liniowej i geometrii głównie w zakresie afinicznych przestrzeni euklidesowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych:

1. Przestrzenie liniowe.

2. Przestrzenie afiniczne.

3. Przekształcenia liniowe.

4. Przekształcenia afiniczne.

5. Wartości i wektory własne.

6. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe.

7. Liniowe i afiniczne przestrzenie euklidesowe.

8. Hiperpowierzchnie stopnia 2.

Moduł Algebra liniowa z geometrią ma na celu wykształcenie umiejętności swobodnego posługiwania się podstawowymi pojęciami i narzędziami z zakresu algebry liniowej i geometrii głównie w zakresie afinicznych przestrzeni euklidesowych. Przewiduje się realizację następujących treści programowych:

1. Przestrzenie liniowe: definicja i przykłady, podprzestrzeń, suma podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa, układy wektorów i ich kombinacje liniowe, podprzestrzeń rozpięta na układzie, liniowa zależność, baza przestrzeni, wymiar.

2. Przestrzenie afiniczne: definicja i przykłady, podprzestrzenie przestrzeni afinicznych a układy równań liniowych, układy punktów i ich środki ciężkości, afiniczne układy współrzędnych.

3. Przekształcenia liniowe: definicja i przykłady, jądro i obraz, macierz przekształcenia liniowego, sposoby określania przekształceń liniowych, zmiana baz, przestrzeń sprzężona.

4. Przekształcenia afiniczne: definicja i przykłady, przekształcenia afiniczne a przekształcenia liniowe, sposoby określania przekształceń afinicznych.

5. Wartości i wektory własne; podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu, wartość i wektor własny, diagonalizacja macierzy, zastosowania wartości i wektorów własnych.

6. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe: definicja i przykłady, macierz funkcjonału, przestrzeń dwuliniowa i jej nieosobliwość, bazy prostopadłe i metody ortogonalizacji, rzeczywiste i zespolone przestrzenie dwuliniowe, sygnatura rzeczywistej przestrzeni dwuliniowej, kryterium Sylvestera, izomorfizmy przestrzeni dwuliniowych, grupa ortogonalna, endomorfizmy samosprzężone.

7. Liniowe i afiniczne przestrzenie euklidesowe: norma i metryka euklidesowa, kąty i ich miary, izometrie liniowe i afiniczne oraz twierdzenia o rozkładach, rzutowania, macierz i wyznacznik Grama, miary wielościanów i sympleksów.

8. Hiperpowierzchnie stopnia 2: definicja i przykłady z nawiązaniem do wiadomości z wykładu „Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej”, informacje o postaciach kanonicznych i klasyfikacji hiperpowierzchni stopnia 2.

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, t. 1 i 2, WNT, Warszawa 2002.

2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

3. A. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 2, PWN, Warszawa 2004.

4. J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów,

5. spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN 1978.

6. A.I. Kostrykin, J.I.Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN 1993.

7. F. Leja, Geometria analityczna, PWN 1975.

8. A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa, PWN 1975.

9. M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową. PWN 1975.

10. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1958.

1. Zna pojęcia i rezultaty z zakresu algebry liniowej i geometrii

potrafi rozpoznawać strukturę przestrzeni liniowej i afinicznej nad dowolnym ciałem oraz ich podprzestrzeni w konkretnych przykładach

potrafi sprawdzić liniową niezależność wektorów oraz znaleźć bazę i wymiar przestrzeni.

2. Potrafi tworzyć nowe przestrzenie liniowe drogą konstrukcji ilorazowych oraz produktów kartezjańskich.

3. Umie stosować przekształcenia liniowe, znajdować macierze w różnych bazach, obliczać wartości i wektory własne endomorfizmów oraz stosować je w zagadnieniach geometrycznych.

4. Umie sprowadzać macierze do postaci kanonicznej i potrafi powiązać to z klasyfikacją utworów stopnia 2

umie przy pomocy wyznaczników rozpoznawać przestrzenie euklidesowe.

5. Potrafi posługiwać się macierzami oraz ich wyznacznikami różnych obiektów w dowolnych przestrzeniach euklidesowych.

Aktywność na zajęciach: znajomość pojęć i faktów teoretycznych oraz umiejętność zastosowania ich do prostych zadań.

Sprawdziany pisemne: umiejętność zastosowania poznanych faktów teoretycznych do rozwiązania złożonych zadań.

Egzamin pisemny: Znajomość wiedzy teoretycznej i jej bezpośredniego zastosowania do konkretnych problemów praktycznych oraz umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej i szczegółowych umiejętności praktycznych w przedłożonych do rozwiązania zadaniach przekrojowych.