WSTĘP DO ALGEBRY I TEORII LICZB

obowiązkowy

brak wymagań

1. Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych.

2. Podstawowe struktury algebraiczne.

3. Kongruencje.

4. Ciało ułamków pierścienia całkowitego.

5. Ciało liczb zespolonych.

6. Pierścień wielomianów jednej zmiennej.

7. Macierze i wyznaczniki.

8. Układy równań liniowych.

1. Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych (4 godz.):

liczby pierwsze, rozkład kanoniczny, dzielenie z resztą, algorytm Euklidesa, NWD oraz NWW, liczby względnie pierwsze, równanie diofantyczne liniowe, Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki, kongruencje, dodawanie i mnożenie modulo, cechy podzielności.

2. Podstawowe struktury algebraiczne (6 godz.):

zbiory z działaniami, grupa i jej podgrupa (Zn, Zn*, grupa permutacji), pierścień przemienny i jego podpierścienie (przykłady, m.in. Zn), iloczyn kartezjański grup oraz pierścieni, ciała oraz podciała (przykłady, m.in. Zp). Izomorfizmy struktur algebraicznych.

3. Kongruencje, cz.2 (3 godz.):

funkcja Eulera, twierdzenie Eulera (Małe Tw. Fermata), układy kongruencji, twierdzenie chińskie o resztach.

4. Ciało ułamków pierścienia całkowitego (2 godz.)

5. Ciało liczb zespolonych (3 godz.): konstrukcja ciała liczb zespolonych, Interpretacja geometryczna, postać trygonometryczna, wzór Moivre'a, pierwiastkowanie liczb zespolonych.

6. Pierścień wielomianów jednej zmiennej (4 godz.):

konstrukcja i podstawowe własności, dzielenie wielomianów z resztą, podzielność wielomianów, funkcja wielomianowa, pierwiastki wielomianu, informacja o rozkładzie na czynniki nierozkładalne nad ciałami liczb rzeczywistych i zespolonych, ciało funkcji wymiernych.

7. Macierze i wyznaczniki (4 godz.):

działania na macierzach, wyznaczniki i ich własności.

8. Układy równań liniowych (4 godz.):

równoważność układów, przekształcenia elementarne, metoda eliminacji Gaussa, wzory Cramera.

Literatura podstawowa:

1. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Warszawa 2009

2. A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, t. I, PWN, Warszawa 2004

3. W. Marzantowski, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006

Literatura uzupełniająca:

4. Iwaszkiewicz-Rudoszańska, Wstęp do algebry i teorii liczb, Wydawnictwo UAM, Poznań 2009

5. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1968

6. W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003

7. W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1967

Student/ka:

1. zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu arytmetyki liczb całkowitych,

2. potrafi wykonywać proste obliczenia arytmetyczne (NWD, NWW, reszty z dzielenia, rozwiązywanie kongruencji, działania modulo n),

3. umie swobodnie operować pojęciem liczby wymiernej, rzeczywistej, zespolonej,

4. umie swobodnie operować wielomianami i funkcjami wymiernymi,

5. potrafi rozpoznawać struktury algebraiczne (grupa, pierścień, ciało) w różnych zagadnieniach matematycznych,

6. umie wykonywać działania na macierzach,i obliczać rzędy i wyznaczniki macierzy,

7. zna własności wyznaczników,

8. rozwiązuje układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa i metodą Cramera.

Na ocenę końcową składają się:

* wyniki testów realizowanych na platformie Moodle’a (17%),

* oceny z dwóch kolokwiów (33%),

* oceny z krótkich testów pisemnych ze znajomości wykładów 17%), * oceny egzaminu końcowego pisemnego (33%)

brak