WSTĘP DO ALGEBRY LINIOWEJ I GEOMETRII ANALITYCZNEJ A [0301-MT-S1-13-WALGA] semestr letni 2015/2016
Konwersatorium, grupa nr 1

1. A. Kostrikin (red.), Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

2. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008.

3. B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, WNT Warszawa, 1972,

4. Z. Radziszewski, Zbiór zadań z geometrii analitycznej, Wyd. UMCS, 1996.

5. http://www.sagemath.org/

1. Liniowe przestrzenie współrzędnych: działanie na wektorach w przestrzeni współrzędnych, kombinacje liniowe, podprzestrzenie, liniowa zależność, baza i wymiar, zmiana bazy, aksjomatyka przestrzeni liniowej nad dowolnym ciałem (4 godz.).

2. Układy równań liniowych: rząd macierzy, struktura zbioru rozwiązań układów równań liniowych, warstwa podprzestrzeni liniowej, jako zbiór rozwiązań układu równań liniowych (4 godz.).

3. Przekształcenia liniowe: przekształcenia liniowe w przestrzeniach współrzędnych i ich macierzowe reprezentacje, macierze klasycznych transformacji geometrycznych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej (4 godz.).

4. Przestrzeń euklidesowa Rn: iloczyn skalarny, wyznacznik Grama, prostopadłość, długość wektora, kąty i ich miary, baza ortonormalna, orientacja przestrzeni, iloczyn wektorowy, objętość równoległościanu, interpretacja geometryczna wyznacznika (4 godz.).

5. Afiniczne przestrzenie współrzędnych: suma afiniczna, układy punktów, środki ciężkości, afiniczny układ współrzędnych i jego zmiana, podprzestrzenie afiniczne i ich równania , wzajemne położenie podprzestrzeni afinicznych, proste i płaszczyzny oraz ich równania (4 godz.).

6. Afiniczna przestrzeń euklidesowa E(Rn): metryka euklidesowa, kąty, równoległościan i jego miara, prostokątny układ współrzędnych, odległość punktu od podprzestrzeni, rzut i symetria prostopadła, izometrie (6 godz.).

7. Utwory stopnia 2: stożkowe i powierzchnie (nad R) oraz ich własności, postacie kanoniczne stożkowych i powierzchni, klasyfikacja (4 godz.).

Dyskusja na temat pojęć i faktów występujących w treści wykładów.

Rozwiązywanie zadań z zestawów opracowanych przez koordynatora, przy aktywnym udziale studentów.

I. Wymagania merytoryczne:

1. Umiejętność: wykonywania działań na wektorach w przestrzeni współrzędnych, sprawdzania, czy dany podzbiór jest podprzestrzenią przestrzeni współrzędnych, wyznaczania kombinacji liniowej układu wektorów, sprawdzania czy dany wektor jest kombinacją liniową układu wektorów, sprawdzania liniowej niezależności i liniowej zależności układu wektorów, sprawdzania czy suma podprzestrzeni jest sumą prostą podprzestrzeni, wyznaczania bazy i wymiaru podprzestrzeni, wyznaczania współrzędnych wektora w bazie, wyznaczania macierzy przejścia pomiędzy bazami, wyznaczania zależność pomiędzy współrzędnymi przy przejściu od bazy do bazy. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 1.

2. Umiejętność: obliczania rzędu macierzy (metodą operacji elementarnych i z zastosowaniem wyznacznika), rozwiązywania układów równań liniowych (w tym także z parametrami), wyznaczania struktury zbioru rozwiązań układu równań liniowych, znajdowania układu równań liniowych, którego zbiorem rozwiązań jest podana warstwa (podprzestrzeń). Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 2.

3. Umiejętność: sprawdzania czy dana funkcja jest przekształceniem liniowym przestrzeni współrzędnych, wyznaczania jądra i obrazu przekształcenia liniowego, znajdowania wzoru na przekształcenie liniowe zadane na bazie, wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego, wyznaczania wzoru na przekształcenie liniowe o zadanej macierzy. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 3.

4. Umiejętność: obliczania i stosowania wyznacznika Grama, wyznaczania ortogonalnego dopełnienia, wyznaczania składowej równoległej i prostopadłej wektora względem podprzestrzeni, wyznaczania bazy ortogonalnej, obliczania długości wektora, miar kątów, iloczynu wektorowego, objętości równoległościanu, stosowania wyznacznika do obliczania wielkości geometrycznych. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 4.

5. Umiejętność: swobodnego operowania punktami i wektorami w afinicznej przestrzeni współrzędnych, sprawdzania, czy podzbiór jest podprzestrzenią afiniczną, wyznaczania podprzestrzeni stycznej do podprzestrzeni afinicznej, swobodnego przechodzenia od postaci parametrycznej do ogólnej (i na odwrót) podprzestrzeni przestrzeni współrzędnych, badania wzajemnego położenia podprzestrzeni afinicznych, wyznaczania współrzędnych punktu w układzie współrzędnych. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 5.

6. Umiejętność: obliczania podstawowych wielkości metrycznych w przestrzeni euklidesowej (odległość punktów, odległość punktu od podprzestrzeni, odległość podprzestrzeni, miary kątów pomiędzy wektorami, prostymi, hiperpłaszczyznami, objętość wielościanu, sympleksu), swobodnego operowania transformacjami geometrycznymi (rzut, symetria, jednokładność, obrót). Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 6.

7. Umiejętność: sprowadzania utworów stopnia 2 do postaci kanonicznej, klasyfikacji stożkowych i powierzchni nad R z wykorzystaniem wyznaczników macierzy związanych z równaniami tych utworów, wyznaczania stycznej, środków i kierunków asymptotycznych oraz punktów osobliwych stożkowej, badania własności krzywych stożkowych. Przykładowe zadania sprawdzające powyższe umiejętności zawarte są w Zestawie 7.

II. Kryteria oceny:

Sprawdzenie wyżej wymienionych umiejętności odbywa się na podstawie zadań przedłożonych do samodzielnego rozwiązania. Podstawowym kryterium oceny jest poprawność rozwiązań wskazująca na opanowanie sprawdzanych umiejętności.

III. Przebieg procesu weryfikacji.

2 kolokwia pisemne (w 7. oraz 13. tygodniu zajęć). Każde pozwala na zdobycie 20 punktów.

Grupa konwersatoryjna 1