ARYTMETYKA 0301-MT-N2-14-ART
Wykład (W) semestr zimowy 2015/2016

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

I. Egzamin:

1. Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 25 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu.

W trakcie egzaminu można zdobyć 50 punktów ( 30 punktów z części pisemnej i 20 punktów z części ustnej). Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów.

2. W części pisemnej egzaminu oceniana będzie umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej wymienionej poniżej w wymaganiach merytorycznych i szczegółowych umiejętności praktycznych wymienionych w wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych, na podstawie przedłożonych do rozwiązania zadań/problemów.

3. W części ustnej egzaminu oceniana będzie: wiedza w zakresie treści wymienionych w opisie wykładu wraz z umiejętnością dowodzenia głównych twierdzeń i faktów (ich lista przedstawiona będzie w materiałach przygotowawczych do egzaminu). Ponadto oceniana będzie umiejętność wskazania związku arytmetyki z innymi działami matematyki oraz głównych zastosowań pojęć i faktów arytmetycznych, a także umiejętność dyskusji o problemach arytmetycznych (w tym także otwartych) z egzaminatorem.

II. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy teoretycznej:

1. Znajomość arytmetycznych własności pierścieni euklidesowych znajomość zastosowania jednoznaczności rozkładu w zagadnieniach arytmetycznych.

2. Znajomość podstawowych faktów dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych oraz związku funkcji dzeta Riemanna z rozmieszczeniem liczb pierwszych

4. Znajomość struktur grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt i związanych z nimi pojęć.

5. Znajomość określenia i własności symbolu Legendre’a i symbolu Jacobiego.

6. Znajomość pojęć i faktów dotyczących aproksymacji diofantycznych.

7. Znajomość podstawowych równań diofantycznych i twierdzeń opisujących ich rozwiązania.

8. Znajomość głównych aspektów praktycznych teorii liczb.

1. Ciała lokalne i globalne: konstrukcje podstawowych zbiorów liczbowych, ciała liczb p-adycznych, ciała liczb algebraicznych, pierścienie liczb algebraicznych całkowitych.

2. Jednoznaczność rozkładu na czynniki: teoria podzielności w pierścieniach euklidesowych, zastosowania jednoznaczności rozkładu na czynniki.

3. Arytmetyka modularna: kongruencje w pierścieniach, chińskie twierdzenie o resztach, struktura pierścienia reszt modulo n.

4. Symbol Legendre'a i symbol Jacobiego: reszty i niereszty kwadratowe, symbol Legendre’a i Jacobiego i ich własności.

5. Własności liczb pierwszych: rozmieszczenie liczb pierwszych, funkcja dzeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych.

6. Testy pierwszości: probabilistyczne i deterministyczne testy pierwszości, algorytmy rozkładu na czynniki.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich zastosowania, ułamki Farye’a, najlepsze przybliżenia.

8. Elementy analizy diofantycznej: struktura zbioru rozwiązań liniowych równań diofantycznych, równanie Pella a jedności w ciałach kwadratowych, wybrane eliptyczne równania diofantyczne.

9. Problem Waringa: sumy kwadratów liczb całkowitych, sumy k-tych potęg.

10. Wybrane zastosowania teorii liczb: systemy kryptograficzne, dzielenie sekretu.

I. Opis zajęć:

Wykład wspomagany prezentacją multimedialną.

II. Opis pracy własnej studenta:

Uczestnictwo na wykładach, samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz literatury wskazanej w sylabusie.