ARYTMETYKA 0301-MT-N2-14-ART
Konwersatorium (K) semestr zimowy 2015/2016

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

I. Sprawdziany pisemne:

Przewidziane są dwa kolokwia mające na celu sprawdzanie wymienionych poniżej umiejętności. Sprawdzenie odbywa się na podstawie zadań przedłożonych do samodzielnego rozwiązania. Podstawowym kryterium jest poprawność rozwiązań wskazująca na opanowanie sprawdzanych umiejętności.

II. Wymagania merytoryczne:

1. Umiejętność dowodzenia i wykorzystywania własności zbiorów liczbowych w oparciu o przedstawione konstrukcje.

2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami w wybranych pierścieniach euklidesowych ( Z, Z[i], K[X]) pierścieni euklidesowych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, stosowania algorytmu Euklidesa.

3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną w wybranych pierścieniach euklidesowych – w szczególności rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach.

4. Umiejętność rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt.

5. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych, stosowania elementarnych metod analitycznych do badania własności zbioru liczb pierwszych.

6. Umiejętność dowodzenia własności i obliczania wartości symbolu Legendre’a i Jacobiego.

7. Umiejętność wykorzystywania symbolu Legendre’a i Jacobiego do dowodu faktów arytmetycznych.

8. Umiejętność: wykorzystywania ułamków łańcuchowych i ułamków Farye’a do przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi.

9. Umiejętność konstrukcji liczb przestępnych.

10. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella oraz wybranych równań diofantycznych kwadratowych i eliptycznych.

1. Ciała lokalne i globalne: konstrukcje podstawowych zbiorów liczbowych, ciała liczb p-adycznych, ciała liczb algebraicznych, pierścienie liczb algebraicznych całkowitych.

2. Jednoznaczność rozkładu na czynniki: teoria podzielności w pierścieniach euklidesowych, zastosowania jednoznaczności rozkładu na czynniki.

3. Arytmetyka modularna: kongruencje w pierścieniach, chińskie twierdzenie o resztach, struktura pierścienia reszt modulo n.

4. Symbol Legendre'a i symbol Jacobiego: reszty i niereszty kwadratowe, symbol Legendre’a i Jacobiego i ich własności.

5. Własności liczb pierwszych: rozmieszczenie liczb pierwszych, funkcja dzeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych.

6. Testy pierwszości: probabilistyczne i deterministyczne testy pierwszości, algorytmy rozkładu na czynniki.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich zastosowania, ułamki Farye’a, najlepsze przybliżenia.

8. Elementy analizy diofantycznej: struktura zbioru rozwiązań liniowych równań diofantycznych, równanie Pella a jedności w ciałach kwadratowych, wybrane eliptyczne równania diofantyczne.

9. Problem Waringa: sumy kwadratów liczb całkowitych, sumy k-tych potęg.

10. Wybrane zastosowania teorii liczb: systemy kryptograficzne, dzielenie sekretu.

I. Opis zajęć:

1. Rozwiązywanie zadań przy aktywnym udziale studentów.

2. Wyjaśnianie trudniejszy pojęć i faktów z wykładu.

3. Omawianie rozwiązań przedstawionych przez słuchaczy.

II. Opis pracy własnej studenta:

Samodzielne rozwiązywanie zadań z zestawów zadań dostarczonych przez wykładowcę.