ARYTMETYKA 0301-MT-N2-14-ART
Wykład (W) semestr zimowy 2016/2017

1. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

2. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementy teorii liczb, PWN 2007.

3. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

4. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

5. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

6. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

I. Egzamin:

1. Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 25 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu.

W trakcie egzaminu można zdobyć 50 punktów ( 30 punktów z części pisemnej i 20 punktów z części ustnej). Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów.

2. W części pisemnej egzaminu oceniana będzie umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej wymienionej poniżej w wymaganiach merytorycznych i szczegółowych umiejętności praktycznych wymienionych w wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych, na podstawie przedłożonych do rozwiązania zadań/problemów.

3. W części ustnej egzaminu oceniana będzie: wiedza w zakresie treści wymienionych w opisie wykładu wraz z umiejętnością dowodzenia głównych twierdzeń i faktów (ich lista przedstawiona będzie w materiałach przygotowawczych do egzaminu). Ponadto oceniana będzie umiejętność wskazania związku arytmetyki z innymi działami matematyki oraz głównych zastosowań pojęć i faktów arytmetycznych, a także umiejętność dyskusji o problemach arytmetycznych (w tym także otwartych) z egzaminatorem.

II. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy teoretycznej:

1. Znajomość aksjomatyki Peano oraz konstrukcji i własności podstawowych zbiorów liczbowych.

2. Znajomość arytmetycznych własności pierścienia liczb całkowitych i związanych z nimi pojęć.

3. Znajomość podstawowych własności pierścieni reszt i wynikających z nich wniosków teorio liczbowych (tw. Eulera, chińskie twierdzenie o resztach, itp.).

4. Znajomość podstawowych faktów dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych: własności funkcji Gaussa, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda.

5. Znajomość własności wybranych funkcji arytmetycznych (funkcja Eulera, funkcja Mobiusa, liczba i suma dzielników naturalnych), własności splotu Dirichleta i jego zastosowania do dowodzenia własności funkcji arytmetycznych.

6. Znajomość struktur grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt i związanych z nimi pojęć (pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy) i ich zastosowań.

7. Znajomość określenia i własności symbolu Legendre’a oraz głównych faktów dotyczących reszt kwadratowych (kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia).

8. Znajomość pojęć i faktów dotyczących ułamków łańcuchowych, rozwinięć liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe oraz podstawowych faktów z zakresu aproksymacji diofantycznych (prawo najlepszego przybliżenia, Twierdzenie Liouville’a).

9. Znajomość podstawowych równań diofantycznych i twierdzeń opisujących ich rozwiązania (równanie Pitagorasa, równanie Pella, równanie Fermata).

Znajomość głównych aspektów praktycznych teorii liczb: arytmetyka modularna, zastosowania liczb pierwszych w kryptografii, testy pierwszości.

III. Wymagania merytoryczne w zakresie umiejętności rozwiązywania zadań i problemów:

1. Umiejętność dowodzenia własności zbioru liczb naturalnych w oparciu o aksjomaty. Umiejętność dowodzenia własności zbiorów liczbowych Z, Q, R w oparciu o ich konstrukcje.

2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami pierścienia liczb całkowitych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania wartości wykładnika p-adycznego, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, dowodzenia własności liczb pierwszych, stosowania algorytmu Euklidesa i rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną, rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach, wyprowadzania i stosowania cech podzielności.

4. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych.

5. Umiejętność: swobodnego operowania podstawowymi funkcjami arytmetycznymi, obliczania i stosowania splotu Dirichleta.

6. Umiejętność: rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt, wyznaczania wszystkich pierwiastków pierwotnych modulo m (o ile istnieją), obliczania i wykorzystywania indeksów.

7. Umiejętność: obliczania wartości symbolu Legendre’a, stosowania lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych.

8. Umiejętność: swobodnego operowania ułamkami łańcuchowymi i pojęciami z nimi związanymi, rozwijania liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe i przybliżania ich reduktami ułamków łańcuchowych (wraz z szacowaniem dokładności tego przybliżenia), znajdowania liczb o zadanym rozwinięciu na ułamek łańcuchowy skończony lub okresowy, wykorzystania twierdzenia Liouville’a do konstrukcji liczb przestępnyh.

9. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella .

1. 1. Ciała lokalne i globalne - konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych: aksjomatyka Peano liczb naturalnych, konstrukcje i własności podstawowych zbiorów liczbowych, ciała lokalne i globalne.

2. Arytmetyczne własności pierścienia liczb całkowitych: liczby pierwsze, rozkład na czynniki, NWD, NWW, algorytm Euklidesa.

3. Pierścienie reszt: kongruencje, pierścienie reszt, chińskie twierdzenie o resztach, rozwiązywanie kongruencji liniowych.

4. Liczby pierwsze i ich rozmieszczenie: funkcja Gaussa i jej własności, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda, liczby Fermata i Mersenne'a, test Lucasa-Lehmera, rekordowe liczby pierwsze.

5. Podstawowe funkcje arytmetyczne: funkcje arytmetyczne, funkcje multyplikatywne, splot Dirichleta, wzór Mobiusa, wartości podstawowych funkcji arytmetycznych, liczby doskonałe.

6. Pierwiastki pierwotne modulo m: struktura grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt, pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy i ich zastosowania.

7. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności: reszty kwadratowe, symbol Legendre'a, kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia, symbol Jacobiego.

8. Ułamki łańcuchowe: ułamki łańcuchowe i ich redukty, rozwijanie liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe arytmetyczne, prawo najlepszego przybliżenia, liczby algebraiczne i przestępne, twierdzenie Liouville'a.

9. Wybrane równania diofantyczne: równania diofantyczne stopnia pierwszego, równanie Pitagorasa, równanie Pella, rozkłady liczb naturalnych na sumy jednakowych potęg, Wielkie Twierdzenie Fermata.

10. Wybrane zastosowania narzędzi teorioliczbowych: arytmetyka modularna, systemy kryptograficzne z kluczem publicznym, testy pierwszości.

I. Opis zajęć:

Wykład wspomagany prezentacją multimedialną.

II. Opis pracy własnej studenta:

Uczestnictwo na wykładach, samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz literatury wskazanej w sylabusie.