ARYTMETYKA 0301-MT-N2-14-ART
Wykład (W) semestr zimowy 2016/2017

I. Egzamin:

1. Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 25 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu.

W trakcie egzaminu można zdobyć 50 punktów ( 30 punktów z części pisemnej i 20 punktów z części ustnej). Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów.

2. W części pisemnej egzaminu oceniana będzie umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej wymienionej poniżej w wymaganiach merytorycznych i szczegółowych umiejętności praktycznych wymienionych w wymaganiach merytorycznych dla sprawdzianów pisemnych, na podstawie przedłożonych do rozwiązania zadań/problemów.

3. W części ustnej egzaminu oceniana będzie: wiedza w zakresie treści wymienionych w opisie wykładu wraz z umiejętnością dowodzenia głównych twierdzeń i faktów (ich lista przedstawiona będzie w materiałach przygotowawczych do egzaminu). Ponadto oceniana będzie umiejętność wskazania związku arytmetyki z innymi działami matematyki oraz głównych zastosowań pojęć i faktów arytmetycznych, a także umiejętność dyskusji o problemach arytmetycznych (w tym także otwartych) z egzaminatorem.

II. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy teoretycznej:

1. Znajomość aksjomatyki Peano oraz konstrukcji i własności podstawowych zbiorów liczbowych.

2. Znajomość arytmetycznych własności pierścienia liczb całkowitych i związanych z nimi pojęć.

3. Znajomość podstawowych własności pierścieni reszt i wynikających z nich wniosków teorio liczbowych (tw. Eulera, chińskie twierdzenie o resztach, itp.).

4. Znajomość podstawowych faktów dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych: własności funkcji Gaussa, nierówność Czebyszewa, postulat Bertranda.

5. Znajomość własności wybranych funkcji arytmetycznych (funkcja Eulera, funkcja Mobiusa, liczba i suma dzielników naturalnych), własności splotu Dirichleta i jego zastosowania do dowodzenia własności funkcji arytmetycznych.

6. Znajomość struktur grupy elementów odwracalnych pierścienia reszt i związanych z nimi pojęć (pierwiastki pierwotne modulo m, indeksy) i ich zastosowań.

7. Znajomość określenia i własności symbolu Legendre’a oraz głównych faktów dotyczących reszt kwadratowych (kryterium Eulera, lemat Gaussa, prawo wzajemności reszt kwadratowych i jego uzupełnienia).

8. Znajomość pojęć i faktów dotyczących ułamków łańcuchowych, rozwinięć liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe oraz podstawowych faktów z zakresu aproksymacji diofantycznych (prawo najlepszego przybliżenia, Twierdzenie Liouville’a).

9. Znajomość podstawowych równań diofantycznych i twierdzeń opisujących ich rozwiązania (równanie Pitagorasa, równanie Pella, równanie Fermata).

Znajomość głównych aspektów praktycznych teorii liczb: arytmetyka modularna, zastosowania liczb pierwszych w kryptografii, testy pierwszości.

III. Wymagania merytoryczne w zakresie umiejętności rozwiązywania zadań i problemów:

1. Umiejętność dowodzenia własności zbioru liczb naturalnych w oparciu o aksjomaty. Umiejętność dowodzenia własności zbiorów liczbowych Z, Q, R w oparciu o ich konstrukcje.

2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami pierścienia liczb całkowitych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania wartości wykładnika p-adycznego, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, dowodzenia własności liczb pierwszych, stosowania algorytmu Euklidesa i rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną, rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach, wyprowadzania i stosowania cech podzielności.

4. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych.

5. Umiejętność: swobodnego operowania podstawowymi funkcjami arytmetycznymi, obliczania i stosowania splotu Dirichleta.

6. Umiejętność: rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt, wyznaczania wszystkich pierwiastków pierwotnych modulo m (o ile istnieją), obliczania i wykorzystywania indeksów.

7. Umiejętność: obliczania wartości symbolu Legendre’a, stosowania lematu Gaussa i prawa wzajemności reszt kwadratowych.

8. Umiejętność: swobodnego operowania ułamkami łańcuchowymi i pojęciami z nimi związanymi, rozwijania liczb rzeczywistych na ułamki łańcuchowe i przybliżania ich reduktami ułamków łańcuchowych (wraz z szacowaniem dokładności tego przybliżenia), znajdowania liczb o zadanym rozwinięciu na ułamek łańcuchowy skończony lub okresowy, wykorzystania twierdzenia Liouville’a do konstrukcji liczb przestępnyh.

9. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella .

I. Opis zajęć:

Wykład wspomagany prezentacją multimedialną.

II. Opis pracy własnej studenta:

Uczestnictwo na wykładach, samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz literatury wskazanej w sylabusie.