TEORIA LICZB 0301-MT-S2-15-TLI
Konwersatorium (K) semestr zimowy 2018/2019

Literatura podstawowa:

1. Zestawy zadań i materiały pomocnicze dostępne na platformie Moodle.

Literatura uzupełniająca:

1. G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the theory of numbers, Clarendon Press Oxford, 1945.

2. K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to modern Number Theory, Springer V. 1982.

3. N. Koblitz, Wykład z teorii liczb i kryptografii, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995.

4. W. Narkiewicz, Teoria Liczb, PWN, Warszawa 2003.

5. W.Sierpiński, (A. Schincel ed.), Elementary Theory of Numbers, PWN Warszawa, North-Holland Amsterdam, 1987.

I. Testy pisemne sprawdzające stopień teoretycznego przygotowania do zajęć.

A. Wymagania merytoryczne:

Znajomość przedstawionych na wykładzie pojęć i faktów w zakresie przedstawionym w pozycji ,,Treści zajęć”.

B. Przebieg weryfikacji:

I. Stopień teoretycznego przygotowania do zajęć będzie sprawdzany za pomocą 5 krótkich testów pisemnych.

II. Kolokwia.

A. Wymagania merytoryczne:

1. Umiejętność dowodzenia i wykorzystywania własności ciał lokalnych w oparciu o przedstawione konstrukcje.

2. Umiejętność swobodnego operowania pojęciami i faktami związanymi z arytmetycznymi własnościami w wybranych pierścieniach euklidesowych ( Z, Z[i], K[X]) pierścieni euklidesowych – w szczególności: rozkładu na czynniki, dowodzenia własności relacji podzielności, obliczania i dowodzenia własności NWD i NWW, stosowania algorytmu Euklidesa.

3. Umiejętność swobodnego operowania arytmetyką modularną w wybranych pierścieniach euklidesowych – w szczególności rozwiązywania kongruencji liniowych i układów kongruencji liniowych, stosowania Chińskiego twierdzenia o resztach.

4. Umiejętność rozpoznawania i wykorzystywania struktury grupy elementów odwracalnych pierścieni reszt.

5. Umiejętność: badania własności liczb pierwszych szczególnej postaci, wyprowadzania wniosków z twierdzeń dotyczących rozmieszczenia liczb pierwszych, stosowania elementarnych metod analitycznych do badania własności zbioru liczb pierwszych.

6. Umiejętność dowodzenia własności i obliczania wartości symbolu Legendre’a i Jacobiego.

7. Umiejętność wykorzystywania symbolu Legendre’a i Jacobiego do dowodu faktów arytmetycznych.

8. Umiejętność: wykorzystywania ułamków łańcuchowych do przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi.

9. Umiejętność rozwiązywania równań diofantycznych liniowych, równania Pella oraz wybranych równań diofantycznych kwadratowych i eliptycznych.

B. Przebieg weryfikacji:

Sprawdzenie wyżej wymienionych umiejętności odbywa się na podstawie zadań przedłożonych do samodzielnego rozwiązania. Podstawowym kryterium jest poprawność rozwiązań wskazująca na opanowanie sprawdzanych umiejętności

III. Aktywność na zajęciach.

Aktywność będzie premiowana w postaci punktów bonusowych (do 10 punktów).

1. Ciała lokalne i globalne: podstawowe ciała liczbowe, ciała liczb p-adycznych, ciała liczb algebraicznych, pierścienie liczb algebraicznych całkowitych.

2. Jednoznaczność rozkładu na czynniki: jednoznaczność rozkładu w pierścieniach euklidesowych, zastosowania jednoznaczności rozkładu na czynniki.

3. Arytmetyka modularna: kongruencje w pierścieniach, chińskie twierdzenie o resztach, struktura pierścienia reszt modulo n.

4. Symbol Legendre'a i sumy Gaussa: symbol Legendre’a i jego własności własności, multiplikatywne charaktery ciał skończonych, sumy Gaussa i ich zastosowania, prawo wzajemności reszt kwadratowych.

5. Rozmieszczenie liczb pierwszych: własności funkcji Gaussa, funkcja dzeta Riemanna i jej związek z rozmieszczeniem liczb pierwszych.

6. Testy pierwszości i algorytmy rozkładu: liczby pseudopierwsze, probabilistyczne i deterministyczne testy pierwszości, algorytmy rozkładu na czynniki.

7. Aproksymacje diofantyczne: ułamki łańcuchowe i ich zastosowania, najlepsze przybliżenia.

8. Elementy analizy diofantycznej: struktura zbioru rozwiązań liniowych równań diofantycznych, równanie Pella a jedności w ciałach kwadratowych, wybrane eliptyczne równania diofantyczne.

9. Wybrane zastosowania teorii liczb: systemy kryptograficzne, dzielenie sekretu.

Dyskusja na temat zagadnień teoretycznych, na podstawie treści wykładów. Rozwiązywanie zadań, których poszczególne zestawy zawierają zadania dotyczące odpowiednich części wykładu.

Praca własna studenta polega na samodzielnym rozwiązywaniu zadań z zestawów zadań przedstawionych przez prowadzącego.