WSTĘP DO ALGEBRY LINIOWEJ I GEOMETRII ANALITYCZNEJ A 0301-MT-S1-13-WALGA
Wykład (W) semestr letni 2018/2019

I. Literatura podstawowa:

1. Skrypt wykładu dostępny na platformie Moodle.

II. Literatura uzupełniająca:

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, t. 1 i 2, WNT, Warszawa 2002.

2. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

3. Kostrikin, Wstęp do algebry, t. 1,2, PWN, Warszawa 2004.

4. N.W.Jefimow, E.R.Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN 1976

5. F. Leja, Geometria analityczna, PWN 1975.

6. M. Moszyńska, J. Święcicka, Geometria z algebrą liniową. PWN 1975.

7. M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1958.

Egzamin pisemny .

A. Wymagania merytoryczne w zakresie wiedzy:

1. Znajomość definicji i podstawowych własności wyznacznika..

2. Znajomość definicji i podstawowych faktów dotyczących przestrzeni współrzędnych: własności działań na wektorach, podprzestrzeń, warstwy względem podprzestrzeni, kombinacje liniowe, podprzestrzeń rozpięta na układzie, liniowa zależność, baza i wymiar podprzestrzeni, rząd macierzy, związek rzędu macierzy z wyznacznikiem.

3. Znajomość faktów dotyczących istnienia rozwiązań i struktury zbioru rozwązań układów równań liniowych: twierdzenie Kroneckera-Capellego, twierdzenie o strukturze zbioru rozwiązań układu równań liniowych, warstwa podprzestrzeni liniowej, jako zbiór rozwiązań układu równań liniowych.

4. Znajomość definicji i podstawowych faktów dotyczących przekształceń liniowych przestrzeni współrzędnych: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, macierz przekształcenia liniowego, macierze klasycznych transformacji geometrycznych.

5. Znajomość definicji i podstawowych faktów dotyczących afinicznych przestrzeni współrzędnych: suma afiniczna, podprzestrzenie afinicznej przestrzeni współrzędnych i ich równania, układy punktów, afiniczny układ współrzędnych i jego zmiana, proste i płaszczyzny oraz ich równania.

6. Znajomość definicji i podstawowych faktów z zakresu geometrii euklidesowej: iloczyn skalarny, prostopadłość, długość wektora, kąty i ich miary, baza ortonormalna, orientacja przestrzeni, iloczyn wektorowy, objętość równoległościanu, metryka euklidesowa, prostokątny układ współrzędnych, zmiana układu współrzędnych, odległość punktu od podprzestrzeni, rzut i symetria prostopadła, izometrie.

7. Znajomość podstawowych faktów dotyczących utworów stopnia 2: stożkowe i powierzchnie (nad R) oraz ich własności, postacie kanoniczne stożkowych i powierzchni, klasyfikacja

B. Wymagania merytoryczne w zakresie umiejętności:

1. Umiejętność: wykonywania działań na macierzach, wyznaczania macierzy odwrotnej, obliczania wyznacznika.

2. Umiejętność: wykonywania działań na wektorach w przestrzeni współrzędnych, sprawdzania, czy dany podzbiór jest podprzestrzenią przestrzeni współrzędnych, wyznaczania kombinacji liniowej układu wektorów, sprawdzania czy dany wektor jest kombinacją liniową układu wektorów, sprawdzania liniowej niezależności i liniowej zależności układu wektorów, wyznaczania bazy i wymiaru podprzestrzeni, wyznaczania współrzędnych wektora w bazie.

3. Umiejętność: obliczania rzędu macierzy (metodą operacji elementarnych i z zastosowaniem wyznacznika), rozwiązywania układów równań liniowych (w tym także z parametrami), wyznaczania struktury zbioru rozwiązań układu równań liniowych, znajdowania układu równań liniowych, którego zbiorem rozwiązań jest podana warstwa (podprzestrzeń).

4. Umiejętność: wyznaczania macierzy przekształcenia liniowego, wyznaczania wzoru na przekształcenie liniowe o zadanej macierzy.

5. Umiejętność: wyznaczania ortogonalnego dopełnienia, wyznaczania składowej równoległej i prostopadłej wektora względem podprzestrzeni, wyznaczania bazy ortogonalnej, obliczania długości wektora, miar kątów, iloczynu wektorowego, objętości równoległościanu, stosowania wyznacznika do obliczania wielkości geometrycznych.

6. Umiejętność: swobodnego operowania punktami i wektorami w afinicznej przestrzeni współrzędnych, sprawdzania, czy podzbiór jest podprzestrzenią afiniczną, wyznaczania podprzestrzeni stycznej do podprzestrzeni afinicznej, swobodnego przechodzenia od postaci parametrycznej do ogólnej (i na odwrót) podprzestrzeni przestrzeni współrzędnych, badania wzajemnego położenia podprzestrzeni afinicznych, wyznaczania współrzędnych punktu w układzie współrzędnych.

7. Umiejętność: obliczania podstawowych wielkości metrycznych w przestrzeni euklidesowej (odległość punktów, odległość punktu od podprzestrzeni, odległość podprzestrzeni, miary kątów pomiędzy wektorami, prostymi, hiperpłaszczyznami, objętość wielościanu, sympleksu), swobodnego operowania transformacjami geometrycznymi (rzut, symetria, jednokładność, obrót). .

8. Umiejętność: sprowadzania utworów stopnia 2 do postaci kanonicznej, klasyfikacji stożkowych i powierzchni nad R z wykorzystaniem wyznaczników macierzy związanych z równaniami tych utworów, wyznaczania stycznej, środków i kierunków asymptotycznych oraz punktów osobliwych stożkowej, badania własności krzywych stożkowych.

1. C. Kryteria oceniania i przebieg procesu weryfikacji:

W pierwszej części egzaminu oceniana będzie znajomość wiedzy teoretycznej i jej bezpośredniego zastosowania do konkretnych problemów praktycznych.

W części drugiej egzaminu oceniana będzie umiejętność syntezy wiedzy teoretycznej i szczegółowych umiejętności praktycznych , na podstawie przedłożonych do rozwiązania zadań przekrojowych.

Do egzaminu student przystępuje z liczbą punktów uzyskaną w trakcie konwersatoriów, który otrzymał co najmniej 25 punktów. Możliwe jest warunkowe dopuszczenie do egzaminu. W trakcie egzaminu można zdobyć 40 punktów. Warunkiem oceny pozytywnej jest uzyskanie sumarycznej liczby punktów co najmniej 50 punktów.

Student, który uzyska maksymalną liczbę punktów z testów i sprawdzianów pisemnych oraz wyróżni się szczególną aktywnością na wykładzie i ćwiczeniach może być zwolniony z egzaminu lub jego części.

1. Macierze i wyznaczniki: działania na macierzach, macierz odwrotna, wyznacznik i jego własności.

2. Liniowe przestrzenie współrzędnych: działanie na wektorach w przestrzeni współrzędnych, kombinacje liniowe, podprzestrzenie i warstwy, liniowa zależność, baza i wymiar.

3. Układy równań liniowych: rząd macierzy, struktura zbioru rozwiązań układów równań liniowych, warstwa podprzestrzeni liniowej, jako zbiór rozwiązań układu równań liniowych.

4. Przekształcenia liniowe: przekształcenia liniowe w przestrzeniach współrzędnych i ich macierzowe reprezentacje, macierze klasycznych transformacji geometrycznych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

5. Przestrzeń euklidesowa Rn: iloczyn skalarny, prostopadłość, długość wektora, kąty i ich miary, baza ortonormalna, orientacja przestrzeni, iloczyn wektorowy, objętość równoległościanu, interpretacja geometryczna wyznacznika .

6. Afiniczne przestrzenie współrzędnych: suma afiniczna, układy punktów, afiniczny układ współrzędnych i jego zmiana, podprzestrzenie afiniczne i ich równania , wzajemne położenie podprzestrzeni afinicznych, proste i płaszczyzny oraz ich równania.

7. Afiniczna przestrzeń euklidesowa E(Rn): metryka euklidesowa, kąty, równoległościan i jego miara, prostokątny układ współrzędnych, odległość punktu od podprzestrzeni, rzut i symetria prostopadła, izometrie.

8. Utwory stopnia 2: stożkowe i powierzchnie (nad R) oraz ich własności, postacie kanoniczne stożkowych i powierzchni, klasyfikacja .

Wykład, połączony z prezentacją, prowadzony metodą audytoryjną.

Praca własna studenta polega na wysłuchiwaniu i studiowaniu wykładów, samodzielne studiowanie literatury wskazanej w sylabusie.